matmalogo
» 95-100 Zgierz, ul. Musierowicza 2, tel./fax.: (042)717-7000, e-mail: traugutt(at)miasto.zgierz.pl » «

Zdania logiczne


Definicja głosi: Zdaniem w sensie logicznym nazywamy takie zdanie oznajmujące, o którym możemy powiedzieć czy jest prawdziwe czy fałszywe i jeśli zdanie jest prawdziwe to ma wartość logiczną 1, a jeśli fałszywe 0 . Innymi słowy zdaniem logicznym jest każde zdanie, o którym wiadomo czy to prawda czy bujda. Np. "Każda krowa jest zielona" jest zdaniem logicznym, o wartości 0 (w końcu ja na własne oczy widziałam kilka krów które zielone bynajmniej nie były...).

Negacją zdania logicznego p nazywamy zdanie postaci "nieprawda, że p" i oznaczamy ~p. Jeśli występuje negacja, to zmienia się wartość zdania logicznego. Oznaczmy zdanie o krowach jako p. Zdanie ~p będzie brzmiało "Nieprawda, że każda krowa jest zielona". Zdanie to teraz ma wratość logiczną 1.

Zdania logiczne złożone

Zdania logiczne złożone są to w praktyce dwa zdania logiczne połączone spójnikiem "i", "lub" "jeżeli, to" "wtedy i tylko wtedy". Wartość zdania logicznego złożonego jest zależna od wartości jego zdań składowych. Poniżej przedstawiam zależność wartości zdań logicznych od zdań składowych.

Koniunkcją zdań p oraz q nazywamy zdanie postaci: p i q. Zapisujemy p ∧ q.
pqp ∧ q
111
100
010
000
Koniunkcja ma wartość logiczną 1 jedynie w przypadku, gdy zdania składowe są prawdziwe.
Np. "(p) Każda krowa jest zielona i (q) 2+2=4" ma wartość logiczną 0, bo p=0, q=1.


Alternatywą zdań p oraz q nazywamy zdanie postaci: p lub q. Zapisujemy p ∨ q.
pqp ∨ q
111
101
011
000
Alternatywa ma wartość logiczną 0 jedynie w wypadku, gdy zdania składowe są fałszywe.


Implikacją zdań p oraz q nazywamy zdanie postaci: jeżeli p, to q. Zapisujemy p ⇒ q. Zdanie p to poprzednik implikacji, a zdanie q to następnik implikacji.
pqp ⇒ q
111
100
011
001
Implikacja ma wartość logiczną 0 jedynie w przypadku gdy zdanie pierwsze jest prawdziwe, a drugie jest fałszywe.
Np. "Jeżeli 2+2=4, to 2-2=4." jest zdaniem fałszywym, jednak zdanie "Jeżeli 2-2=4, to 2+2=4." jest zdaniem prawdziwym... Wiem, że to trochę bez sensu, ale tak jest :).

Twierdzenia w matematyce podaje się pod postacią implikacji. Twierdzenie takie nazywa się twierdzeniem prostym i ma ono postać:
p ⇒ q
twierdzenie odwrotne:
q ⇒ p
twierdzenie przeciwne:
~p ⇒ ~q
twierdzenie przeciwstawne:
~q ⇒ ~p


Równoważnością zdań p oraz q nazywamy zdanie postaci: p wtedy i tylko wtedy gdy q. Zapisujemy p ⇔ q.
pqp ⇔ q
111
100
010
001
Różnoważność jest prawdziwa jeżeli zdania składowe są fałszywe, lub jeśli zdania składowe są prawdziwe.
Np. "(p) 3+3=6 wtedy i tylko wtedy gdy (q) 3 jest liczbą całkowitą." p=1, q=1.


Generalnie przedstawione powyżej tabelki trzeba zakuć na pamięć, innego wyjścia nie ma.

A teraz kilka przykładów:
1) 6+7=13 i 20 jest liczbą całkowitą.
2) R jest spółgłoską lub A jest spółgłoską.
3) Jeżeli 3>1, to 2<1.
4) 2*2=4 wtedy i tylko wtedy, gdy 5<3.
5) Jeżeli 7+3=11, to 7-3=4.


Wartości zdań:
1) 1
2) 1
3) 0
4) 0
5) 1
Projekt i wykonanie: Alicja "Amayor" Kierus
wielkie podziękowania dla D@nieL-K za udostępnienie grafiki :)