matmalogo
» 95-100 Zgierz, ul. Musierowicza 2, tel./fax.: (042)717-7000, e-mail: traugutt(at)miasto.zgierz.pl » «

Nierówności


Nierówność liniowa jest to nierówność postaci np. ax+b>0. Nierówności liniowe rozwiązujemy podbnie jak równości, z tą jedynie różnicą, że przy dzieleniu lub mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną zmieniamy znak nierówności. Np. -2x+4>0 ⇔ -2x>-4 ⇔ 2x<2.

Nierówności liniowe z dwoma niewiadomymi

Nierównością liniową z dwoma niewiadomymi nazywamy nierówność postaci np. ax+by+c>0. Podobnie jak w przypadku równań z dwoma niewiadomymi najlepiej wyliczyć y i narysować w układzie współrzędnych prostą o wyliczonym równaniu. Np. 8x+2y-6>0 ⇔ 2y>-8x+6 ⇔ y>-4x+3. Rozwiązaniem nierówności jest wszystko to, co znajduje się ponad prostą o równaniu y=-4x+3.
nierowno1

Rozwiązaniem nierówności y>ax+b jest wszystko to, co znajduje się ponad prostą o równaniu y=ax+b ale bez tej prostej.
nierowno2

Rozwiązaniem nierówności y≥ax+b jest wszystko to, co znajduje się ponad prostą o równaniu y=ax+b łącznie z tą prostą.
nierowno3

Rozwiązaniem nierówności y<ax+b jest wszystko to, co znajduje się pod prostą o równaniu y=ax+b ale bez tej prostej.
nierowno4

Rozwiązaniem nierówności y≤ax+b jest wszystko to, co znajduje się ponad prostą o równaniu y=ax+b łącznie z tą prostą.

Nierówności kwadratowe

Nierównością kwadratową nazywamy nierówność postaci np. ax2+bx+c>0.
nierowno5

a>0
Δ=0
f(x)≥0
nierowno6

a>0
Δ<0
f(x)>0
nierowno9

a>0
Δ>0
nierowno7

a<0
Δ=0
f(x)≤0
nierowno8

a<0
Δ<0
f(x)<0
nierowno10

a<0
Δ>0
Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowej po pierwsze należy wyliczyć deltę. Następnie miejsca zerowe i narysować sobie przybliżony wykres funkcji. Np.: x2-2x-3>0. Δ=4+12=16. x1=-1, x2=3. Wykres w uproszczeniu wygląda tak (ponieważ Δ>0 i a>0):
nierowno11 Więc nierówność jest spełniona dla x∈(-∞,-1)∪(3,∞)

Nierówności kwadratowe z parametrem

W przypadku nierówności kwadratowych z parametrem podobnie jak przy równaniach po pierwsze musimy zagwaranotwać aby a było różne od zera. Jeśli np. x2-mx+m+3>0 to a>0 i Δ<0 (jakie warunki muszą być spełnione w poszczególnych przypadkach podaje przy wykresach powyżej).
W naszym zadaniu a>0 zawsze, gdyż nie stoi przy nim parametr. Δ=m2-4(m+3)=m2-4m-12. Musimy narysować wykres naszej delty, który będzie parabolą, w tym celu musimy policzyć miejsca zerowe delty: Δm=16+48=64. m1=-2, m2=6. Wykres wygląda następująco:
nierowno12
Δ<0 dla m∈(-2,6)

Nierówności wymierne

Przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych korzystamy z równoważności: nierowno13 W(x)⋅P(x)>0. W przypadku ≤ oraz ≥ należy jeszcze dorzucić warunek P(x)≠0.
W praktyce wygląda to tak: nierowno14. Po pierwsze dziedzina: x-1≠0 ⇔ x≠1. D=R\{1}.
nierowno14 ⇔ (x2-4)(x-1)≤0 ⇔ (x-2)(x+2)(x-1)≤0.

nierowno15

Teraz najlepiej narysować wykres, powiedzmy z (x-2)(x+2) zrobić parabolę, a z x-1 prostą. Jeśli oba wykresy są pod lub nad osią x, wtedy całe wyrażenie ma wartość dodatnią.

Z rysunku widać, że rozwiązanie naszej nierówności to x∈(-∞;-2>∪(1,2>.

W przypadku bardziej złożonych nierówności postepujemy podobnie, wyliczamy miejsca zerowe mianownika i licznika i rysujemy ich wykresy. Wartość jest dodatnia wtedy, gdy ilość wykresów pod osią x jest parzysta (lub równa 0).
Projekt i wykonanie: Alicja "Amayor" Kierus
wielkie podziękowania dla D@nieL-K za udostępnienie grafiki :)